общая+сумма+ренты

1) Economy: total rent

2) Accounting: total rental

fin. montante della rendita unitaria

total rent

фин. общая сумма ренты

количество;
величина - small * of smth. небольшое количество чего-л.;
- he has any * of money у него денег хватает;
- * of business торговый оборот;
- * of housing жилищный фонд;
- * of turnover сумма оборота капитала;
- * of employment (экономика) занятость;
- in * по количеству, количественно;
- the * of clouds (метеорология) балл облачности;
- the * used (техническое) затрата;
- * of deflection( техническое) стрела прогиба все, весь объем, вся масса - a great * of negligence большая степень халатности;
непростительная небрежность;
- the * of evidence against him is great против него собрано огромное количество улик;
- he has an enormous * of energy он человек неистощимой энергии общая сумма, итог - what is the * of the debt? какова общая сумма долга? (бухгалтерское) основная сумма и проценты с нее - * due сумма к получению, причитающаяся сумма;
- * at risk (страхование) страховая сумма (to) составлять;
доходить до;
достигать;
равняться - the bill *s to $ 25 cчет составляет сумму в 25 долларов (to) быть равным, равносильным, равнозначным, означать - to * to a refusal быть равносильным отказу;
- to * to very little, not to * to much не иметь большого значения, очень мало значить;
- what does it * to? что это значит?;
- it *s to this это означает следующее становиться, добиваться - he'll never * to anything из него никогда ничего не выйдет

acquisition ~ сумма покупки acquisition ~ сумма приобретения

advance ~ авансовая сумма

aggregate ~ общее количество aggregate ~ общий итог aggregate ~ совокупная сумма aggregate ~ суммарное количество

amount быть равным, равнозначащим;
this amounts to a refusal это равносильно отказу ~ быть равным ~ величина ~ достигать ~ доходить (до какого-л. количества), составлять (сумму) ;
равняться;
the bill amount s to l 40 счет составляет сумму в 40 фунтов стерлингов ~ значительность, важность ~ итог ~ количество;
a large amount of work много работы ~ количество ~ объем ~ основная сумма и проценты с нее ~ равняться ~ составлять сумму ~ сумма, итог;
what is the amount of this? сколько это составляет? ~ сумма ~ (денежная) сумма

~ for distribution сумма к распределению

~ in arrears задолженная сумма

~ in damages сумма компенсации ущерба

~ in dispute спорная сумма

~ in notes сумма, указанная на банкнотах

~ in words сумма, выраженная словами

~ of advance сумма аванса

~ of appropriation сумма ассигнований

~ of bill сумма векселя ~ of bill сумма счета к оплате

~ of contract сумма контракта

~ of cumulative value adjustments полная сумма переоценок актива баланса в соответствии с его текущей стоимостью

~ of damage страх. сумма ущерба

~ of depreciation сумма амортизационных отчислений

~ of difference величина разницы

~ of dividends сумма дивидендов

~ of donation сумма пожертвования

~ of dues сумма сборов

~ of dues payable подлежащая оплате сумма сборов

~ of exemption сумма вычетов при расчете налогов

~ of fine сумма штрафа

~ of fixed assets сумма основного капитала

~ of grant сумма субсидии

~ of guarantee сумма залога

~ of income сумма дохода

~ of increase сумма прироста

~ of inheritance стоимость наследства

~ of loan сумма займа ~ of loan сумма кредита

~ of loans floated сумма размещенных займов

~ of loans raised сумма полученных займов

~ of loss сумма убытка

~ of maintenance сумма обеспечения

~ of money денежная сумма

~ of premium премиальная сумма

~ of provision сумма резерва

~ of quota сумма квоты

~ of reduction сумма сокращения расходов

~ of refund сумма рефинансирования

~ of repayment сумма погашения долга

~ of sale сумма продаж

~ of savings сумма накоплений

~ of simulation вчт. объем моделирования

~ of tax сумма налога

~ of tax payable подлежащая уплате сумма налога

~ of transfer сумма перевода

~ on deposit сумма вклада ~ on deposit сумма депозита

~ to достигать ~ to доходить до ~ to означать ~ to равняться ~ to составлять сумму

~ to be deducted сумма, подлежащая удержанию

~ to be paid сумма к оплате

to ~ to very little, not to ~ to much быть незначительным, не иметь большого значения;
what, after all, does it amount to? что, в конце концов, это означает?

annual ~ ежегодная сумма

annuity ~ сумма страхования ренты

appraised ~ оцененная сумма

assessed ~ оценочная стоимость

balance sheet ~ итоговая сумма балансового отчета

basic ~ исходное количество basic ~ основное количество, базовая сумма (при начислении пособия и т. п.)

~ доходить (до какого-л. количества), составлять (сумму) ;
равняться;
the bill amount s to l 40 счет составляет сумму в 40 фунтов стерлингов

calculated ~ вычисленная сумма

carrying ~ балансовый показатель

cash ~ сумма наличными

compensatory ~ сумма компенсации

conditional sale ~ сумма условной продажи

contracted ~ договорная сумма

cover ~ сумма покрытия

data ~ вчт. количество информации data ~ вчт. объем данных

debit ~ дебетовая сумма debit ~ дебетовый итог

differential ~ дифференциальная сумма

disability ~ пособие по инвалидности

documentary credit ~ сумма документарного аккредитива

to ~ to very little, not to ~ to much быть незначительным, не иметь большого значения;
what, after all, does it amount to? что, в конце концов, это означает?

dollar ~ сумма в долларах

donated ~ подаренная сумма

double-figure ~ двузначная сумма

due ~ причитающаяся сумма

earnings-related ~ сумма рассчитанная с учетом заработка

error ~ вчт. величина ошибки

estimated ~ рассчитанная величина

exact ~ точная сумма

exceptional ~ необычный итог

excess ~ избыточное количество excess ~ превышение установленной суммы excess ~ сумма превышения

final ~ итоговая сумма

fixed ~ постоянное количество

full ~ полная сумма

gross ~ валовая сумма gross ~ общее количество

guarantee ~ гарантийная сумма

immaterial ~ незначительное количество

income tax ~ сумма взимаемого подоходного налога

insurance ~ общая сумма страхования insurance ~ сумма страхования

interest ~ сумма процента

intervention ~ сумма интервенции

invested ~ инвестированная сумма

invoice ~ сумма фактуры

invoiced ~ сумма по счету

issue ~ сумма эмиссии

large ~ крупная сумма

~ количество;
a large amount of work много работы

maximum ~ максимальная сумма

minimum ~ минимальная сумма minimum ~ минимальное количество

monetary ~ денежная сумма

monetary compensatory ~ (MCA) сумма валютной компенсации

net ~ сумма-нетто

nominal ~ номинальная сумма

nonrecurring ~ единовременная сумма

to ~ to very little, not to ~ to much быть незначительным, не иметь большого значения;
what, after all, does it amount to? что, в конце концов, это означает?

notional principal ~ условная основная сумма кредитного обязательства в процентном свопе

odd ~ некруглая сумма

order ~ сумма заказа

outstanding ~ не предъявленная к платежу сумма outstanding ~ недоимка outstanding ~ неоплаченная сумма outstanding ~ непогашенная часть займа outstanding ~ сумма задолженности

pay an ~ выплачивать всю сумму

pension ~ сумма выплачиваемой пенсии

premium ~ сумма страхового взноса

purchase ~ объем закупок

recourse ~ юр. сумма с правом регресса

recoverable ~ возмещаемая сумма recoverable ~ количество, подлежащее возмещению

recovery ~ сумма страхового возмещения

remaining ~ остаток суммы

residual ~ остаток суммы residual ~ остаточная сумма

risk ~ рисковая сумма

sales ~ объем сбыта

subscribe an ~ подписываться на определенную сумму

subvention ~ сумма субсидии

supplementary ~ дополнительная сумма

surplus ~ избыточное количество

target ~ планируемая сумма

tax ~ размер налогов tax ~ сумма налогов

tax-exempt basic ~ основная сумма, не облагаемая налогом

tax-free ~ сумма, не облагаемая налогом

taxable ~ сумма, облагаемая налогом

amount быть равным, равнозначащим;
this amounts to a refusal это равносильно отказу

total ~ итог total ~ общая сумма

triple-figure ~ трехзначная сумма

to ~ to very little, not to ~ to much быть незначительным, не иметь большого значения;
what, after all, does it amount to? что, в конце концов, это означает? soever: ~ присоединяясь к словам who, what, when, how, where служит для усиления: in what place soever где бы то ни было what: what pron emph. какой!;
как!;
что!;
what a strange phenomenon! какое необычное явление!;
what an interesting book it is! какая интересная книга! ~ pron conj. какой, что, сколько;
I don't know what she wants я не знаю, что ей нужно;
like what's in your workers' eyes? например, что думают ваши рабочие? ~ pron inter. какой?, что?, сколько?;
what is it? что это (такое?)

~ сумма, итог;
what is the amount of this? сколько это составляет?

withdrawal ~ сумма, снятая со счета

[əˈmaunt]

acquisition amount сумма покупки acquisition amount сумма приобретения advance amount авансовая сумма aggregate amount общее количество aggregate amount общий итог aggregate amount совокупная сумма aggregate amount суммарное количество amount быть равным, равнозначащим; this amounts to a refusal это равносильно отказу amount быть равным amount величина amount достигать amount доходить (до какого-л. количества), составлять (сумму); равняться; the bill amount s to l 40 счет составляет сумму в 40 фунтов стерлингов amount значительность, важность amount итог amount количество; a large amount of work много работы amount количество amount объем amount основная сумма и проценты с нее amount равняться amount составлять сумму amount сумма, итог; what is the amount of this? сколько это составляет? amount сумма amount (денежная) сумма amount for distribution сумма к распределению amount in arrears задолженная сумма amount in damages сумма компенсации ущерба amount in dispute спорная сумма amount in notes сумма, указанная на банкнотах amount in words сумма, выраженная словами amount of advance сумма аванса amount of appropriation сумма ассигнований amount of bill сумма векселя amount of bill сумма счета к оплате amount of contract сумма контракта amount of cumulative value adjustments полная сумма переоценок актива баланса в соответствии с его текущей стоимостью amount of damage страх. сумма ущерба amount of depreciation сумма амортизационных отчислений amount of difference величина разницы amount of dividends сумма дивидендов amount of donation сумма пожертвования amount of dues сумма сборов amount of dues payable подлежащая оплате сумма сборов amount of exemption сумма вычетов при расчете налогов amount of fine сумма штрафа amount of fixed assets сумма основного капитала amount of grant сумма субсидии amount of guarantee сумма залога amount of income сумма дохода amount of increase сумма прироста amount of inheritance стоимость наследства amount of loan сумма займа amount of loan сумма кредита amount of loans floated сумма размещенных займов amount of loans raised сумма полученных займов amount of loss сумма убытка amount of maintenance сумма обеспечения amount of money денежная сумма amount of premium премиальная сумма amount of provision сумма резерва amount of quota сумма квоты amount of reduction сумма сокращения расходов amount of refund сумма рефинансирования amount of repayment сумма погашения долга amount of sale сумма продаж amount of savings сумма накоплений amount of simulation вчт. объем моделирования amount of tax сумма налога amount of tax payable подлежащая уплате сумма налога amount of transfer сумма перевода amount on deposit сумма вклада amount on deposit сумма депозита amount to достигать amount to доходить до amount to означать amount to равняться amount to составлять сумму amount to be deducted сумма, подлежащая удержанию amount to be paid сумма к оплате to amount to very little, not to amount to much быть незначительным, не иметь большого значения; what, after all, does it amount to? что, в конце концов, это означает? annual amount ежегодная сумма annuity amount сумма страхования ренты appraised amount оцененная сумма assessed amount оценочная стоимость balance sheet amount итоговая сумма балансового отчета basic amount исходное количество basic amount основное количество, базовая сумма (при начислении пособия и т. п.) amount доходить (до какого-л. количества), составлять (сумму); равняться; the bill amount s to l 40 счет составляет сумму в 40 фунтов стерлингов calculated amount вычисленная сумма carrying amount балансовый показатель cash amount сумма наличными compensatory amount сумма компенсации conditional sale amount сумма условной продажи contracted amount договорная сумма cover amount сумма покрытия data amount вчт. количество информации data amount вчт. объем данных debit amount дебетовая сумма debit amount дебетовый итог differential amount дифференциальная сумма disability amount пособие по инвалидности documentary credit amount сумма документарного аккредитива to amount to very little, not to amount to much быть незначительным, не иметь большого значения; what, after all, does it amount to? что, в конце концов, это означает? dollar amount сумма в долларах donated amount подаренная сумма double-figure amount двузначная сумма due amount причитающаяся сумма earnings-related amount сумма рассчитанная с учетом заработка error amount вчт. величина ошибки estimated amount рассчитанная величина exact amount точная сумма exceptional amount необычный итог excess amount избыточное количество excess amount превышение установленной суммы excess amount сумма превышения final amount итоговая сумма fixed amount постоянное количество full amount полная сумма gross amount валовая сумма gross amount общее количество guarantee amount гарантийная сумма immaterial amount незначительное количество income tax amount сумма взимаемого подоходного налога insurance amount общая сумма страхования insurance amount сумма страхования interest amount сумма процента intervention amount сумма интервенции invested amount инвестированная сумма invoice amount сумма фактуры invoiced amount сумма по счету issue amount сумма эмиссии large amount крупная сумма amount количество; a large amount of work много работы maximum amount максимальная сумма minimum amount минимальная сумма minimum amount минимальное количество monetary amount денежная сумма monetary compensatory amount (MCA) сумма валютной компенсации net amount сумма-нетто nominal amount номинальная сумма nonrecurring amount единовременная сумма to amount to very little, not to amount to much быть незначительным, не иметь большого значения; what, after all, does it amount to? что, в конце концов, это означает? notional principal amount условная основная сумма кредитного обязательства в процентном свопе odd amount некруглая сумма order amount сумма заказа outstanding amount не предъявленная к платежу сумма outstanding amount недоимка outstanding amount неоплаченная сумма outstanding amount непогашенная часть займа outstanding amount сумма задолженности pay an amount выплачивать всю сумму pension amount сумма выплачиваемой пенсии premium amount сумма страхового взноса purchase amount объем закупок recourse amount юр. сумма с правом регресса recoverable amount возмещаемая сумма recoverable amount количество, подлежащее возмещению recovery amount сумма страхового возмещения remaining amount остаток суммы residual amount остаток суммы residual amount остаточная сумма risk amount рисковая сумма sales amount объем сбыта subscribe an amount подписываться на определенную сумму subvention amount сумма субсидии supplementary amount дополнительная сумма surplus amount избыточное количество target amount планируемая сумма tax amount размер налогов tax amount сумма налогов tax-exempt basic amount основная сумма, не облагаемая налогом tax-free amount сумма, не облагаемая налогом taxable amount сумма, облагаемая налогом amount быть равным, равнозначащим; this amounts to a refusal это равносильно отказу total amount итог total amount общая сумма triple-figure amount трехзначная сумма to amount to very little, not to amount to much быть незначительным, не иметь большого значения; what, after all, does it amount to? что, в конце концов, это означает? soever: amount присоединяясь к словам who, what, when, how, where служит для усиления: in what place soever где бы то ни было what: what pron emph. какой!; как!; что!; what a strange phenomenon! какое необычное явление!; what an interesting book it is! какая интересная книга! amount pron conj. какой, что, сколько; I don't know what she wants я не знаю, что ей нужно; like what's in your workers' eyes? например, что думают ваши рабочие? amount pron inter. какой?, что?, сколько?; what is it? что это (такое?) amount сумма, итог; what is the amount of this? сколько это составляет? withdrawal amount сумма, снятая со счета

а) эк., стат. (сумма доходов поставщиков ресурсов в экономике: сумма заработной платы, ренты, прибыли и процента)

б) гос. фин. ( сумма доходов данного лица из разных источников)

в) гос. фин. (сумма доходов двух или более лиц, напр., суммарный доход супругов, всех членов семьи или группы аффилированных компаний)

г) фин. (годовой рост стоимости вложения во взаимный фонд плюс реинвестированный доход, полученный инвестором в результате распределения прибыли фонда, который рассчитывается в процентном отношении к сумме первоначального вложения)

* * *

 

линейное программирование
—
[ http://www.iks-media.ru/glossary/index.html?glossid=2400324]

линейное программирование
Область математического программирования, посвященная теории и методам решения экстремальных задач, характеризующихся линейной зависимостью между переменными. В самом общем виде задачу Л.п. можно записать так. Даны ограничения типа или в так называемой канонической форме, к которой можно привести все три указанных случая Требуется найти неотрицательные числа xj (j = 1, 2, …, n), которые минимизируют (или максимизируют) линейную форму Неотрицательность искомых чисел записывается так: Таким образом, здесь представлена общая задача математического программирования с теми оговорками, что как ограничения, так и целевая функция — линейные, а искомые переменные — неотрицательны. Обозначения можно трактовать следующим образом: bi — количество ресурса вида i; m — количество видов этих ресурсов; aij — норма расхода ресурса вида i на единицу продукции вида j; xj — количество продукции вида j, причем таких видов — n; cj — доход (или другой выигрыш) от единицы этой продукции, а в случае задачи на минимум — затраты на единицу продукции; нумерация ресурсов разделена на три части: от 1 до m1, от m1 + 1 до m2 и от m2 + 1 до m в зависимости от того, какие ставятся ограничения на расходование этих ресурсов; в первом случае — «не больше», во втором — «столько же», в третьем — «не меньше»; Z — в случае максимизации, например, объем продукции или дохода, в случае же минимизации — себестоимость, расход сырья и т.п. Добавим еще одно обозначение, оно появится несколько ниже; vi — оптимальная оценка i-го ресурса. Слово «программирование» объясняется здесь тем, что неизвестные переменные, которые отыскиваются в процессе решения задачи, обычно в совокупности определяют программу (план) работы некоторого экономического объекта. Слово, «линейное» отражает факт линейной зависимости между переменными. При этом, как указано, задача обязательно имеет экстремальный характер, т.е. состоит в отыскании экстремума (максимума или минимума) целевой функции. Следует с самого начала предупредить: предпосылка линейности, когда в реальной экономике подавляющее большинство зависимостей носит более сложный нелинейный характер, есть огрубление, упрощение действительности. В некоторых случаях оно достаточно реалистично, в других же выводы, получаемые с помощью решения задач Л.п. оказываются весьма несовершенными. Рассмотрим две задачи Л.п. — на максимум и на минимум — на упрощенных примерах. Предположим, требуется разработать план производства двух видов продукции (объем первого — x1; второго — x2) с наиболее выгодным использованием трех видов ресурсов (наилучшим в смысле максимума общей прибыли от реализации плана). Условия задачи можно записать в виде таблицы (матрицы). Исходя из норм, зафиксированных в таблице, запишем неравенства (ограничения): a11x1 + a12x2 ? bi a21x1 + a22x2 ? b2 a31x1 + a32x2 ? b3 Это означает, что общий расход каждого из трех видов ресурсов не может быть больше его наличия. Поскольку выпуск продукции не может быть отрицательным, добавим еще два ограничения: x1? 0, x2? 0. Требуется найти такие значения x1 и x2, при которых общая сумма прибыли, т.е. величина c1 x1 + c2 x2 будет наибольшей, или короче: Удобно показать условия задачи на графике (рис. Л.2). Рис. Л.2 Линейное программирование, I (штриховкой окантована область допустимых решений) Любая точка здесь, обозначаемая координатами x1 и x2, составляет вариант искомого плана. Очевидно, что, например, все точки, находящиеся в области, ограниченной осями координат и прямой AA, удовлетворяют тому условию, что не может быть израсходовано первого ресурса больше, чем его у нас имеется в наличии (в случае, если точка находится на самой прямой, ресурс используется полностью). Если то же рассуждение отнести к остальным ограничениям, то станет ясно, что всем условиям задачи удовлетворяет любая точка, находящаяся в пределах области, края которой заштрихованы, — она называется областью допустимых решений (или областью допустимых значений, допустимым множеством). Остается найти ту из них, которая даст наибольшую прибыль, т.е. максимум целевой функции. Выбрав произвольно прямую c1x1 + c2x2 = П и обозначив ее MM, находим на чертеже все точки (варианты планов), где прибыль одинакова при любом сочетании x1 и x2 (см. Линия уровня). Перемещая эту линию параллельно ее исходному положению, найдем точку, которая в наибольшей мере удалена от начала координат, однако не вышла за пределы области допустимых значений. (Перемещая линию уровня еще дальше, уже выходим из нее и, следовательно, нарушаем ограничения задачи). Точка M0 и будет искомым оптимальным планом. Она находится в одной из вершин многоугольника. Может быть и такой случай, когда линия уровня совпадает с одной из прямых, ограничивающих область допустимых значений, тогда оптимальным будет любой план, находящийся на соответствующем отрезке. Координаты точки M0 (т.е. оптимальный план) можно найти, решая совместно уравнения тех прямых, на пересечении которых она находится. Противоположна изложенной другая задача Л.п.: поиск минимума функции при заданных ограничениях. Такая задача возникает, например, когда требуется найти наиболее дешевую смесь некоторых продуктов, содержащих необходимые компоненты (см. Задача о диете). При этом известно содержание каждого компонента в единице исходного продукта — aij, ее себестоимость — cj ; задается потребность в искомых компонентах — bi. Эти данные можно записать в таблице (матрице), сходной с той, которая приведена выше, а затем построить уравнения как ограничений, так и целевой функции. Предыдущая задача решалась графически. Рассуждая аналогично, можно построить график (рис. Л.3), каждая точка которого — вариант искомого плана: сочетания разных количеств продуктов x1 и x2. Рис.Л.3 Линейное программирование, II Область допустимых решений здесь ничем сверху не ограничена: нужное количество заданных компонентов тем легче получить, чем больше исходных продуктов. Но требуется найти наиболее выгодное их сочетание. Пунктирные линии, как и в предыдущем примере, — линии уровня. Здесь они соединяют планы, при которых себестоимость смесей исходных продуктов одинакова. Линия, соответствующая наименьшему ее значению при заданных требованиях, — линия MM. Искомый оптимальный план — в точке M0. Приведенные крайне упрощенные примеры демонстрируют основные особенности задачи Л.п. Реальные задачи, насчитывающие много переменных, нельзя изобразить на плоскости — для их геометрической интерпретации используются абстрактные многомерные пространства. При этом допустимое решение задачи — точка в n-мерном пространстве, множество всех допустимых решений — выпуклое множество в этом пространстве (выпуклый многогранник). Задачи Л.п., в которых нормативы (или коэффициенты), объемы ресурсов («константы ограничений«) или коэффициенты целевой функции содержат случайные элементы, называются задачами линейного стохастического программирования; когда же одна или несколько независимых переменных могут принимать только целочисленные значения, то перед нами задача линейного целочисленного программирования. В экономике широко применяются линейно-программные методы решения задач размещения производства (см. Транспортная задача), расчета рационов для скота (см. Задача диеты), наилучшего использования материалов (см. Задача о раскрое), распределения ресурсов по работам, которые надо выполнять (см. Распределительная задача) и т.д. Разработан целый ряд вычислительных приемов, позволяющих решать на ЭВМ задачи линейного программирования, насчитывающие сотни и тысячи переменных, неравенств и уравнений. Среди них наибольшее распространение приобрели методы последовательного улучшения допустимого решения (см. Симплексный метод, Базисное решение), а также декомпозиционные методы решения крупноразмерных задач, методы динамического программирования и др. Сама разработка и исследование таких методов — развитая область вычислительной математики. Один из видов решения имеет особое значение для экономической интерпретации задачи Л.п. Он связан с тем, что каждой прямой задаче Л.п. соответствует другая, симметричная ей двойственная задача (подробнее см. также Двойственность в линейном программировании). Если в качестве прямой принять задачу максимизации выпуска продукции (или объема реализации, прибыли и т.д.), то двойственная задача заключается, наоборот, в нахождении таких оценок ресурсов, которые минимизируют затраты. В случае оптимального решения ее целевая функция — сумма произведений оценки (цены) vi каждого ресурса на его количество bi— то есть равна целевой функции прямой задачи. Эта цена называется объективно обусловленной, или оптимальной оценкой, или разрешающим множителем. Основополагающий принцип Л.п. состоит в том, что в оптимальном плане и при оптимальных оценках всех ресурсов затраты и результаты равны. Оценки двойственной задачи обладают замечательными свойствами: они показывают, насколько возрастет (или уменьшится) целевая функция прямой задачи при увеличении (или уменьшении) запаса соответствующего вида ресурсов на единицу. В частности, чем больше в нашем распоряжении данного ресурса по сравнению с потребностью в нем, тем ниже будет оценка, и наоборот. Не решая прямую задачу, по оценкам ресурсов, полученных в двойственной задаче, можно найти оптимальный план: в него войдут все технологические способы, которые оправдывают затраты, исчисленные в этих оценках (см. Объективно обусловленные (оптимальные) оценки). Первооткрыватель Л.п. — советский ученый, академик, лауреат Ленинской, Государственной и Нобелевской премий Л.В.Канторович. В 1939 г. он решил математически несколько задач: о наилучшей загрузке машин, о раскрое материалов с наименьшими расходами, о распределении грузов по нескольким видам транспорта и др., при этом разработав универсальный метод решения этих задач, а также различные алгоритмы, реализующие его. Л.В.Канторович впервые точно сформулировал такие важные и теперь широко принятые экономико-математические понятия, как оптимальность плана, оптимальное распределение ресурсов, объективно обусловленные (оптимальные) оценки, указав многочисленные области экономики, где могут быть применены экономико-математические методы принятия оптимальных решений. Позднее, в 40—50-х годах, многое сделали в этой области американские ученые — экономист Т.Купманс и математик Дж. Данциг. Последнему принадлежит термин «линейное программирование». См. также: Ассортиментные задачи, Базисное решение, Блочное программирование, Булево линейное программирование, Ведущий столбец, Ведущая строка, Вершина допустимого многогранника, Вырожденная задача, Гомори способ, Граничная точка, Двойственная задача, Двойственность в линейном программировании, Дифференциальные ренты, Дополняющая нежесткость, Жесткость и нежесткость ограничений ЛП, Задача диеты, Задача о назначениях, Задача о раскрое, Задачи размещения, Исходные уравнения, Куна — Таккера условия, Множители Лагранжа, Область допустимых решений, Опорная прямая, Распределительные задачи, Седловая точка, Симплексная таблица, Симплексный метод, Транспортная задача.
[ http://slovar-lopatnikov.ru/]

Тематики

• экономика
• электросвязь, основные понятия

EN

• linear programming

 

линейное программирование
—
[ http://www.iks-media.ru/glossary/index.html?glossid=2400324]

линейное программирование
Область математического программирования, посвященная теории и методам решения экстремальных задач, характеризующихся линейной зависимостью между переменными. В самом общем виде задачу Л.п. можно записать так. Даны ограничения типа или в так называемой канонической форме, к которой можно привести все три указанных случая Требуется найти неотрицательные числа xj (j = 1, 2, …, n), которые минимизируют (или максимизируют) линейную форму Неотрицательность искомых чисел записывается так: Таким образом, здесь представлена общая задача математического программирования с теми оговорками, что как ограничения, так и целевая функция — линейные, а искомые переменные — неотрицательны. Обозначения можно трактовать следующим образом: bi — количество ресурса вида i; m — количество видов этих ресурсов; aij — норма расхода ресурса вида i на единицу продукции вида j; xj — количество продукции вида j, причем таких видов — n; cj — доход (или другой выигрыш) от единицы этой продукции, а в случае задачи на минимум — затраты на единицу продукции; нумерация ресурсов разделена на три части: от 1 до m1, от m1 + 1 до m2 и от m2 + 1 до m в зависимости от того, какие ставятся ограничения на расходование этих ресурсов; в первом случае — «не больше», во втором — «столько же», в третьем — «не меньше»; Z — в случае максимизации, например, объем продукции или дохода, в случае же минимизации — себестоимость, расход сырья и т.п. Добавим еще одно обозначение, оно появится несколько ниже; vi — оптимальная оценка i-го ресурса. Слово «программирование» объясняется здесь тем, что неизвестные переменные, которые отыскиваются в процессе решения задачи, обычно в совокупности определяют программу (план) работы некоторого экономического объекта. Слово, «линейное» отражает факт линейной зависимости между переменными. При этом, как указано, задача обязательно имеет экстремальный характер, т.е. состоит в отыскании экстремума (максимума или минимума) целевой функции. Следует с самого начала предупредить: предпосылка линейности, когда в реальной экономике подавляющее большинство зависимостей носит более сложный нелинейный характер, есть огрубление, упрощение действительности. В некоторых случаях оно достаточно реалистично, в других же выводы, получаемые с помощью решения задач Л.п. оказываются весьма несовершенными. Рассмотрим две задачи Л.п. — на максимум и на минимум — на упрощенных примерах. Предположим, требуется разработать план производства двух видов продукции (объем первого — x1; второго — x2) с наиболее выгодным использованием трех видов ресурсов (наилучшим в смысле максимума общей прибыли от реализации плана). Условия задачи можно записать в виде таблицы (матрицы). Исходя из норм, зафиксированных в таблице, запишем неравенства (ограничения): a11x1 + a12x2 ? bi a21x1 + a22x2 ? b2 a31x1 + a32x2 ? b3 Это означает, что общий расход каждого из трех видов ресурсов не может быть больше его наличия. Поскольку выпуск продукции не может быть отрицательным, добавим еще два ограничения: x1? 0, x2? 0. Требуется найти такие значения x1 и x2, при которых общая сумма прибыли, т.е. величина c1 x1 + c2 x2 будет наибольшей, или короче: Удобно показать условия задачи на графике (рис. Л.2). Рис. Л.2 Линейное программирование, I (штриховкой окантована область допустимых решений) Любая точка здесь, обозначаемая координатами x1 и x2, составляет вариант искомого плана. Очевидно, что, например, все точки, находящиеся в области, ограниченной осями координат и прямой AA, удовлетворяют тому условию, что не может быть израсходовано первого ресурса больше, чем его у нас имеется в наличии (в случае, если точка находится на самой прямой, ресурс используется полностью). Если то же рассуждение отнести к остальным ограничениям, то станет ясно, что всем условиям задачи удовлетворяет любая точка, находящаяся в пределах области, края которой заштрихованы, — она называется областью допустимых решений (или областью допустимых значений, допустимым множеством). Остается найти ту из них, которая даст наибольшую прибыль, т.е. максимум целевой функции. Выбрав произвольно прямую c1x1 + c2x2 = П и обозначив ее MM, находим на чертеже все точки (варианты планов), где прибыль одинакова при любом сочетании x1 и x2 (см. Линия уровня). Перемещая эту линию параллельно ее исходному положению, найдем точку, которая в наибольшей мере удалена от начала координат, однако не вышла за пределы области допустимых значений. (Перемещая линию уровня еще дальше, уже выходим из нее и, следовательно, нарушаем ограничения задачи). Точка M0 и будет искомым оптимальным планом. Она находится в одной из вершин многоугольника. Может быть и такой случай, когда линия уровня совпадает с одной из прямых, ограничивающих область допустимых значений, тогда оптимальным будет любой план, находящийся на соответствующем отрезке. Координаты точки M0 (т.е. оптимальный план) можно найти, решая совместно уравнения тех прямых, на пересечении которых она находится. Противоположна изложенной другая задача Л.п.: поиск минимума функции при заданных ограничениях. Такая задача возникает, например, когда требуется найти наиболее дешевую смесь некоторых продуктов, содержащих необходимые компоненты (см. Задача о диете). При этом известно содержание каждого компонента в единице исходного продукта — aij, ее себестоимость — cj ; задается потребность в искомых компонентах — bi. Эти данные можно записать в таблице (матрице), сходной с той, которая приведена выше, а затем построить уравнения как ограничений, так и целевой функции. Предыдущая задача решалась графически. Рассуждая аналогично, можно построить график (рис. Л.3), каждая точка которого — вариант искомого плана: сочетания разных количеств продуктов x1 и x2. Рис.Л.3 Линейное программирование, II Область допустимых решений здесь ничем сверху не ограничена: нужное количество заданных компонентов тем легче получить, чем больше исходных продуктов. Но требуется найти наиболее выгодное их сочетание. Пунктирные линии, как и в предыдущем примере, — линии уровня. Здесь они соединяют планы, при которых себестоимость смесей исходных продуктов одинакова. Линия, соответствующая наименьшему ее значению при заданных требованиях, — линия MM. Искомый оптимальный план — в точке M0. Приведенные крайне упрощенные примеры демонстрируют основные особенности задачи Л.п. Реальные задачи, насчитывающие много переменных, нельзя изобразить на плоскости — для их геометрической интерпретации используются абстрактные многомерные пространства. При этом допустимое решение задачи — точка в n-мерном пространстве, множество всех допустимых решений — выпуклое множество в этом пространстве (выпуклый многогранник). Задачи Л.п., в которых нормативы (или коэффициенты), объемы ресурсов («константы ограничений«) или коэффициенты целевой функции содержат случайные элементы, называются задачами линейного стохастического программирования; когда же одна или несколько независимых переменных могут принимать только целочисленные значения, то перед нами задача линейного целочисленного программирования. В экономике широко применяются линейно-программные методы решения задач размещения производства (см. Транспортная задача), расчета рационов для скота (см. Задача диеты), наилучшего использования материалов (см. Задача о раскрое), распределения ресурсов по работам, которые надо выполнять (см. Распределительная задача) и т.д. Разработан целый ряд вычислительных приемов, позволяющих решать на ЭВМ задачи линейного программирования, насчитывающие сотни и тысячи переменных, неравенств и уравнений. Среди них наибольшее распространение приобрели методы последовательного улучшения допустимого решения (см. Симплексный метод, Базисное решение), а также декомпозиционные методы решения крупноразмерных задач, методы динамического программирования и др. Сама разработка и исследование таких методов — развитая область вычислительной математики. Один из видов решения имеет особое значение для экономической интерпретации задачи Л.п. Он связан с тем, что каждой прямой задаче Л.п. соответствует другая, симметричная ей двойственная задача (подробнее см. также Двойственность в линейном программировании). Если в качестве прямой принять задачу максимизации выпуска продукции (или объема реализации, прибыли и т.д.), то двойственная задача заключается, наоборот, в нахождении таких оценок ресурсов, которые минимизируют затраты. В случае оптимального решения ее целевая функция — сумма произведений оценки (цены) vi каждого ресурса на его количество bi— то есть равна целевой функции прямой задачи. Эта цена называется объективно обусловленной, или оптимальной оценкой, или разрешающим множителем. Основополагающий принцип Л.п. состоит в том, что в оптимальном плане и при оптимальных оценках всех ресурсов затраты и результаты равны. Оценки двойственной задачи обладают замечательными свойствами: они показывают, насколько возрастет (или уменьшится) целевая функция прямой задачи при увеличении (или уменьшении) запаса соответствующего вида ресурсов на единицу. В частности, чем больше в нашем распоряжении данного ресурса по сравнению с потребностью в нем, тем ниже будет оценка, и наоборот. Не решая прямую задачу, по оценкам ресурсов, полученных в двойственной задаче, можно найти оптимальный план: в него войдут все технологические способы, которые оправдывают затраты, исчисленные в этих оценках (см. Объективно обусловленные (оптимальные) оценки). Первооткрыватель Л.п. — советский ученый, академик, лауреат Ленинской, Государственной и Нобелевской премий Л.В.Канторович. В 1939 г. он решил математически несколько задач: о наилучшей загрузке машин, о раскрое материалов с наименьшими расходами, о распределении грузов по нескольким видам транспорта и др., при этом разработав универсальный метод решения этих задач, а также различные алгоритмы, реализующие его. Л.В.Канторович впервые точно сформулировал такие важные и теперь широко принятые экономико-математические понятия, как оптимальность плана, оптимальное распределение ресурсов, объективно обусловленные (оптимальные) оценки, указав многочисленные области экономики, где могут быть применены экономико-математические методы принятия оптимальных решений. Позднее, в 40—50-х годах, многое сделали в этой области американские ученые — экономист Т.Купманс и математик Дж. Данциг. Последнему принадлежит термин «линейное программирование». См. также: Ассортиментные задачи, Базисное решение, Блочное программирование, Булево линейное программирование, Ведущий столбец, Ведущая строка, Вершина допустимого многогранника, Вырожденная задача, Гомори способ, Граничная точка, Двойственная задача, Двойственность в линейном программировании, Дифференциальные ренты, Дополняющая нежесткость, Жесткость и нежесткость ограничений ЛП, Задача диеты, Задача о назначениях, Задача о раскрое, Задачи размещения, Исходные уравнения, Куна — Таккера условия, Множители Лагранжа, Область допустимых решений, Опорная прямая, Распределительные задачи, Седловая точка, Симплексная таблица, Симплексный метод, Транспортная задача.
[ http://slovar-lopatnikov.ru/]

Тематики

• экономика
• электросвязь, основные понятия

EN

• linear programming