формули

ЧИСЛЕННЯ ВИСЛОВЛЮВАНЬ - пропозиційне числення - розділ математичної логіки, який за обсягом збігається з логікою висловлювань і є її формальною побудовою. Існує багато шляхів формальної побудови логіки висловлювань, тобто можливі різні Ч. в. Проте при побудові кожного Ч. в. треба насамперед визначити його мову, тобто вказати вихідні символи (знаки логічних операцій - λ v Z> для заперечення, кон'юнкції, диз'юнкції, імплікації; пропозиційні змінні р, q, г...', дужки) і правила утворення формул із символів. В Ч. в. синтаксично визначаються правильно побудовані формули. Серед них вибираються аксіоми, що розглядаються як тавтології, тобто такі формули, які при всіх наборах значень для змінних, що їх складають, виявляються істинними. З аксіом за допомогою фіксованих правил виводу одержують теореми або доведені формули. Розрізняють класичне Ч. в. (яке містить у собі виключеного третього закон і класичне розуміння заперечення), а також різні некласичні Ч. в. Термін "Ч. в." вживають як синонім терміна "класичне числення висловлювань". Ч. в. становить основу формальної побудови всіх інших логічних теорій (див. числення предикатів), а завжди істинні формули Ч. в. використовуються як правила доведення наукових положень.

АКСІОМА (грецьк. άξιωμα - положення, що вважається справедливим) - вихідне твердження наукової теорії, котре приймається за істинне без його доведення. Аксіоматичний статус висловлювань теорії може обумовлюватись або їх самоочевидністю (а, отже, відсутністю потреби в їхньому обґрунтуванні), або їх граничним характером, тобто відсутністю в даній теорії більш фундаментальних положень, на підставі яких можна було б одержати зазначені висловлювання за правилами виводу цієї теорії. Логіко-методологічні функції А. полягають насамперед в окресленні через задану систему А. предметних меж теорії. Дотримання цих меж у процесі міркувань дозволяє уникнути позапредметного застосування тієї чи тієї теорії, котре призводило б до парадоксів. З іншого боку, будучи граничними положеннями теорії, А. є базовими підставами для розгортання теоретичної системи та доведення всіх її похідних істин (теорем). Завдяки наявності А. стає можливим доведення як логічна операція, бо коли б у теорії не існувало граничних підстав, то процедура обґрунтування будь-якої теореми перетворилася б на нескінченну. Звичайно за А. вибирають такі твердження теорії, про які наперед відомо, внаслідок їхньої простоти і очевидності, що вони істинні. Але це не обов'язково. А. може бути будь-яка теорема, якщо в сукупності з іншими А. вона відповідає таким вимогам: 1) вибрані як А. твердження теорії мають бути достатніми для виведення всіх інших тверджень теорії; 2) вони не повинні виводитись одне з одного; 3) це мають бути такі твердження, які б широко використовувалися для виведення (або доведення) теорем. Стимули вибору та оцінки А. визначаються за межами даної теорії й базуються на "внутрішньому" та "зовнішньому" досвіді. У формалізованих численнях математичної логіки А. є не змістові твердження, а формули, з яких за правилами виведення цього числення одержують інші формули (теореми), що їх доводять у цьому численні (див. аксіоматичний метод).

ЕКВІПОЛЕНТНІСТЬ ( від лат. aequipollens (aequipollentis) - рівносильний, рівнозначний) - логічна еквівалентність, збіг за значенням при можливій відмінності за смислом. Еквіполентними називають поняття, судження, формули тощо, які позначають ту саму сукупність предметів (але, можливо, мають різний смисл). Напр., у численні висловлювань формули 1(1рлр) та 1\pvp логічно еквівалентні, бо набувають одного значення - "істинне", проте різняться за смислом: перша виражає суперечності закон, друга - виключеного третього закон.

ЗАГАЛЬНОЗНАЧУЩІСТЬ - характеристика ствердження, якщо воно набуває значення "істини" в будь-яких допустимих ситуаціях ("теперішнє завжди буде минулим"). Відносно формального виразу (формули) ситуація уточнюється за допомогою інтерпретації. Загальнозначущі формули ще називають завжди істинними формулами, або логічними істинами, на відміну від формул, які набувають значення "істини" лише за певних умов. Напр., формула логіки висловлювань (pz>p)c завжди істинною і виражає закон тотожності для імплікації.

ЛОГІКА ДИНАМІЧНА - напрям логічного моделювання динамічних аспектів міркувань; у широкому розумінні Л.д. - моделювання потоку інформації, у більш вузькому розумінні Л.д. - логіка програм. Програма вважається динамічним об'єктом, що переводить один стан світу (комп'ютера) в інший. Пропозиційна Л.д. містить вирази, які поділяються на дві категорії - формули і програми. Вихідними для побудови формул є пропозидійні букви, логічні зв'язки і оператор виконання програм. Значення формули Л.д. ототожнюється з множиною всіх станів, у яких ця формула істинна, а значення програми - з множиною пар <а, Ь> таких, що якщо ця програма стартує в стані а, то може завершитися в стані Ь. Л.д. отримана шляхом модифікації "статичних" модальних логічних систем. Базовим поняттям Л.д. є поняття бінарного відношення переходу між станами обчислення (відношення досяжності в семантиці модальної логіки). Найбільш близьким до відношення переходу є інтерпретація відношення досяжності у логіці часу як відношення часового порядку.

1) (випроваджування, висилання) withdrawal, pull-out, evacuation

2) ( вилучення) withdrawal, removal, getting out

3) комп. output, read-out

4) (формули, рівняння) derivation

5) (сортів рослин, порід тварин) raising, hatching ( out), breeding; ( вирощування) growing

6) ( паразитів) extermination

7)

1) opening

2) uncovering; мат. ( формули) expansion

3) (обману, злочину) disclosure, exposure, disclosing, revelation

4)

1) формули́рование, формулиро́вка

2) ( выражение) формулиро́вка

ІМПЛІКАЦІЯ (лат. implicatio, від implico - тісно зв'язую) - логічна операція, яка з двох висловлюваньр і q утворює умовне висловлювання "якщо р, то q". Формально цей новий вираз записують: р з q (або: р —» q, Cpq), де гС - знаки І. в різних системах запису. Термін "І." вживається також для позначення зв'язки "якщо..., то..." і самого умовного висловлювання. Існує кілька видів І. Основною в класичній математичній логіці є матеріальна І. pz> q. За властивостями І. pz>q є хибною в тому і тільки в тому випадку, якщор - істинне, a q - хибне. При матеріальній І. антецедент і консеквент не зв'язані за змістом В. ід матеріальної відрізняють формальну І., яка виражається через матеріальну І. і квантор загальності: Vx(P (х) d:> Q (х)) (див. квантори). Істинність цієї формули означає, що завжди, коли предмет х має властивість Р, він має також і властивість Q. Для вираження в логічних численнях деяких видів смислового зв'язку між антецедентом і консеквентом було зроблено спроби побудувати каузальну І. і контрфактичну І. Важливу роль відіграє І. в логічних численнях В. она є основою логічного виводу, зокрема, як правило відокремлення, відповідно до якого з істинності складного висловлювання і на підставі істинності його антецедента роблять висновок про істинність консеквента, який можна записати у вигляді доведеної теореми.

I ІСТИНА - 1) Філософська категорія, разом з категоріями добра, краси і свободи відбиває глибинний смисл людського світовідношення та осягнення буття, шукань людського духу та творення гуманістичних ідеалів; виражає сутнісний зміст та безпосередню мету пізнавального процесу і характеризує його результат - знання як адекватне відображення суб'єктивної та об'єктивної реальності в свідомості людини. І. встановлюється через визначення відповідності пізнавального образу, знання реального стану речей в дійсності, що надає І. за своїм змістом незалежності від суб'єкта (див. об'єктивна істина). Однак ця відповідність не розглядається як повний збіг пізнавального образу і об'єкта, оскільки останньому притаманна пізнавальна невичерпність, а процес пізнання завжди обумовлений історично, обмежений у своїх пізнавальних можливостях, залежить від рівня розвитку пізнавального інструментарію. На кожному конкретному етапі пізнавальний образ відносно вірно відтворює об'єкт, але з розвитком пізнання поповнюється новими якісними визначеннями предмета, все точніше його відтворює. Тому І. не є щось статичне і незмінне, а розглядається як безперервний процес послідовного наближення до повноти відтворення (див. абсолютна істина, відносна істина). В процесі пізнання І. реалізується через дотримання принципів об'єктивності, що вимагає розглядати об'єкт таким, який він є сам по собі, в об'єктивній реальності; всебічності, коли об'єкт повинен розглядатися в усій його багатостатності, якісній різноманітності, у взаємозв'язках і опосередкуваннях; доказовості, коли за достовірне приймається лише знання, яке має достатнє теоретичне і емпіричне, логічне і практичне обґрунтування. Тим самим категорія І. відсікає від справжнього пізнання різного роду його суррогати. Будучи продуктом пізнання, І. в сфері культури набуває ціннісного значення. Визначення сенсу пізнавальної діяльності як служіння І. надає категорії І. морального звучання. У вченні про І. серед основних є питання про критерій І. 2) Логічне поняття, виражає одне з двох або багатьох істиннісних значень, які надаються будь-якому судженню або системі суджень, окремій теорії або системі теорій. Часто ототожнюється з поняттями істинності (напр., істинність твердження, істинність теорії) або істинного (напр., істинне твердження, істинна теорія). Встановлюється за допомогою застосування визначених правил побудови та процедур доведення логічних виразів. Залежно від умов і правил визначення істинності логічних побудов розрізняють синтаксичне і семантичне поняття І. (див. істина в формалізованих мовах). Протилежними до категорії І. виступають поняття "омана", "хиба", "оманливість", "хибність". Проблему І. вивчають переважно теорія пізнання, логіка.

[br]

II ІСТИНА в формалізованих мовах - властивість висловлювання (пропозиційної формули), що висловлює істинне судження. Тоді як гносеологічне поняття істини фіксує відповідність між змістом суджень і реальністю, І.в ф.м. пов'язана з моделюванням цієї відповідності засобами формалізованої мови С. емантичне визначення поняття істини було запропоноване Тарським ("Поняття істини в формалізованих мовах", 1933, 1935). Основні вимоги до дефініції поняття стосуються блокування парадоксальності (що притаманна буденній мові внаслідок її універсальності) шляхом розрізнення у формалізованій мові складників мови-об'єкта (висловлювання) і метамови (структурно-дескриптивного імені висловлювання, трансляції цього висловлювання у метамову, предикату істини). Однак вимоги до дефініції істини не містять засобів визначення істинності конкретного висловлювання, оскільки не всі складні висловлювання - скінченне з'єднання простих висловлювань. Використовується поняття пропозиційної функції (для якої є справедливим те, що складні функції - скінченне поєднання простих) і аналог поняття істини для функції - поняття доконаності. В залежності від правил утворення мови, визаначаються умови істинності кожного конкретного висловлювання О. скільки правила утворення задають скінченний список типів формул мови, виходячи з якого визначається клас істинних висловлювань, це дозволяє визначити для нескінченної ієрархії метамов нескінченне число предикатів істини скінченними засобами.

Кант, Іммануїл (1724, Кенігсберг, нині Калінінград - 1804) - нім. філософ. Видатне місце К. в історії світової філософської думки визначається насамперед тим, що він осмислив і узагальнив основні проблеми філософії взагалі і особливо Нового часу, подав їх у вигляді співвідношень: чуттєвість і мислення, розсудок і розум, річ у собі і явище, апріорне й апостеріорне, свобода і причинність, пізнаваність світу та її межі Г. оловна риса його вчення - проблемність і проблематичність. К. по суті зібрав класичні нерозв'язані проблеми і зробив спробу їх самостійного осмислення. Під таким кутом зору його філософія стала своєрідною системою проблем, а оскільки в його підходах до їхнього розв'язання виявилося багато суперечливого і, отже, проблемного, то його вчення в цілому стало першою ланкою нім. класичної філософи, яка прямо чи опосередковано вирішувала низку фундаментальних філософських проблем. Тому К. підставово вважають засновником нім. класичної філософії. Еволюція поглядів К. охоплює три періоди. Перший із них - докритичний, коли він займався багатьма питаннями природознавства і філософії. Найважливіші досягнення цього періоду: розробка космогонічної гіпотези і підхід до критичної філософії (в дис. "Про форму і принципи чуттєвосприйманого і умопізнаваного світу", 1770). В другий, критичний, період увага К. була зосереджена на трьох головних проблемах: Що я можу знати? Що я повинен робити? На що можу сподіватися? На перше питання відповідь дала "Критика чистого розуму" (1781), на друге - "Критика практичного розуму" (1788), на третє - "Релігія в межах тільки розуму" (1793). "Критика здібності судження" (1790) мала за мету поєднати трансцендентальне і трансцендентне через естетику і телеологію. В 1793 р. намітився третій період еволюції К.— антропологічний (з листа до Штейдліна від 4 травня 1793 р.) і коло питань розширилося. Це було наслідком того, що К. розрізняв два поняття філософії: шкільне і таке, що охоплює все життя людини, всю сукупність її відношень до світу і суспільства. В "Логіці" (1800) К. до вищезазначених проблем додає четверту: Що таке людина? У цей період К. вважає, що на перше питання відповідає метафізика, на друге - мораль, на третє - релігія і на четверте - антропологія. Але по суті все це можна було б звести до антропології, бо три перших питання відносяться до останнього. Можливість такого віднесення у К. ґрунтується на тому, що сутність людини він вбачав у її душі, а всі без винятку здібності останньої зводяться до трьох: пізнавальної, почуття задоволення і незадоволення, бажання. К. наполягав, що друга і третя з них не вичерпуються першою. Система філософії К. є зображенням такої "системи всіх здібностей людської душі", в якій вони знаходяться в певній субординації, а знання підпорядковане вищим цілям людського існування. Саме тому К. і обмежив знання, щоб дати місце вірі, бо саме в сфері моралі і релігії зосереджуються кінцеві цілі життя. Але слід додати, що обмеження знання вірою є і зворотне обмеження віри, бо при цьому виокремлюється сфера досвіду, яка їй непідвладна, і відносно самостійна сфера моралі Ц. і обмеження загалом мають таку структуру: існують речі в собі, вони впливають на чуттєвість і викликають почуття, які, однак, не мають нічого спільного з речами в собі. Почуття впорядковуються формами споглядання - простором і часом, котрі мають апріорний характер (див. апостеріорі і апріорі). Таке поєднання породжує явища як предмет пізнання С. аме пізнання - синтез явищ і мислення та його форм - категорій, які також апріорні. Сукупністю такого знання є досвід, а мисленням, в даному застосуванні, - розсудок (див. розсудок і розум) Ч. уттєвість і розсудок передують досвіду, обумовлюють його, становлять трансцендентальні умови пізнання. За межами їх залишаються речі в собі: вони трансцендентні, непізнаванні. Але розсудок прагне осягнути і їх і перелітає по той бік досвіду, внаслідок чого перетворюється на чистий розум, тобто такий, що не поєднується з чуттєвими даними. Спроби такого осягнення породжують суперечності, яких К. виділяє три групи: антиномії, паралогізми, ідеал чистого розуму. Недолік теоретичного розуму долає практичний, моральний, який формулює основний закон - категоричний імператив - у його різних формах. Цей закон виражає свободу волі, її незалежність від чуттєвого світу, в якому живе людина. Щоб спонукати її виконувати закон і підтримати в такому виконанні, необхідні опори, підстави, які К. назвав постулатами; існують Бог, свобода волі, безсмертя душі - так відбувається перехід у сферу релігії. Предмети постулатів - це найважливіші для життя речі в собі. їх буття стверджується не знанням, а вірою. Таким чином теоретичний розум внаслідок своєї обмеженості переходить в практичний, а останній - в релігію, яка виконує також обмежену, але дуже важливу роль: моральний закон випливає не з неї, а тільки підтримується нею. Ця її обмеженість очевидна з загальної формули К., котра знайшла свій відбиток в одній із головних його праць "Релігія в межах тільки розуму". Всі види розуму і віра в сукупності становлять сутність людини, а вся система К. - антропологію.

[br]

Осн. тв.: "Загальна природна історія і теорія неба" (1755); "Критика чистого розуму" (1781); "Пролегомени..."(1783); "Критика практичного розуму" (1788); "Критика здатності суджень" (1790); "Антропологія з прагматичної точки зору" (1798)та ін.

МАКСИМА ( від лат. maxima (sententia) - основне правило, принцип) - однозначна вимога неординарного змісту, подана у вигляді чіткої, стислої формули; певне правило моралі, права, логічного мислення; стосовно вимог практики поняття М. не вживається.

РІВНОЗНАЧНІСТЬ, рівносильність - відношення типу рівності, що виникає між поняттями (предикатами), висловлюваннями, теоріями та іншими виразами в межах конкретної мовної системи. Два вирази вважають рівнозначними, якщо вони взаємно замінні відповідно до правил вживання їх у даній мовній системі. Залежно від способу утворення розрізняють кілька видів Р. Якщо Р. виразів встановлюють за збігом їхніх обсягів, то її називають логічною Р. або еквівалентністю. Встановлення відношення Р. має важливе теоретико-пізнавальне значення. Воно дозволяє спрощувати різні формули, зводити їх до зручнішого для використання вигляду, замінювати одні вирази іншими, ефективнішими в пізнавальному відношенні.