аксіоматичний

АКСІОМАТИЧНИЙ МЕТОД - спосіб побудови теорії, за яким деякі її твердження приймаються за вихідні як аксіоми, а всі інші виводяться з них шляхом міркувань. Логічні правила цих міркувань строго фіксовані. Невелика кількість вихідних термінів залишається невизначеною (хоча можна вважати аксіоми їхніми неявними визначеннями). На основі вихідних термінів шляхом явних визначень виводять усі інші терміни теорії, за допомогою яких формулюються теореми. При такій побудові теорій дотримуються вимог їх несуперечливості, повноти та незалежності аксіом. У розвитку А.м. розрізняють три етапи. Перший характеризується аксіоматичною побудовою силогістики в працях Аристотеля і геометрії в "Началах" Евкліда О. собливістю цього періоду є змістове застосування А.м. На другому етапі (кін. XIX - поч. XX ст.) відбувається перехід до формального розуміння А.м. На третьому, сучасному етапі, А.м. розуміють як спосіб конструювання формалізованих мовних систем, що веде до чіткого розрізнення штучної формалізованої мови і тієї змістової предметної області, яка в ній відображена. А.м. широко застосовують у математиці й математичній логіці, а також у деяких розділах фізики й кібернетики. В науковому пізнанні А.м. використовують як засіб дослідження визначеності та доказовості систем знання, несуперечливості їх, виявлення евристичності певних концептуальних структур.

АКСІОМА (грецьк. άξιωμα - положення, що вважається справедливим) - вихідне твердження наукової теорії, котре приймається за істинне без його доведення. Аксіоматичний статус висловлювань теорії може обумовлюватись або їх самоочевидністю (а, отже, відсутністю потреби в їхньому обґрунтуванні), або їх граничним характером, тобто відсутністю в даній теорії більш фундаментальних положень, на підставі яких можна було б одержати зазначені висловлювання за правилами виводу цієї теорії. Логіко-методологічні функції А. полягають насамперед в окресленні через задану систему А. предметних меж теорії. Дотримання цих меж у процесі міркувань дозволяє уникнути позапредметного застосування тієї чи тієї теорії, котре призводило б до парадоксів. З іншого боку, будучи граничними положеннями теорії, А. є базовими підставами для розгортання теоретичної системи та доведення всіх її похідних істин (теорем). Завдяки наявності А. стає можливим доведення як логічна операція, бо коли б у теорії не існувало граничних підстав, то процедура обґрунтування будь-якої теореми перетворилася б на нескінченну. Звичайно за А. вибирають такі твердження теорії, про які наперед відомо, внаслідок їхньої простоти і очевидності, що вони істинні. Але це не обов'язково. А. може бути будь-яка теорема, якщо в сукупності з іншими А. вона відповідає таким вимогам: 1) вибрані як А. твердження теорії мають бути достатніми для виведення всіх інших тверджень теорії; 2) вони не повинні виводитись одне з одного; 3) це мають бути такі твердження, які б широко використовувалися для виведення (або доведення) теорем. Стимули вибору та оцінки А. визначаються за межами даної теорії й базуються на "внутрішньому" та "зовнішньому" досвіді. У формалізованих численнях математичної логіки А. є не змістові твердження, а формули, з яких за правилами виведення цього числення одержують інші формули (теореми), що їх доводять у цьому численні (див. аксіоматичний метод).

АКСІОМАТИЧНА ТЕОРІЯ МНОЖИН - формулювання вчення про множини у вигляді аксіоматичної системи (див. аксіоматичний метод). Стимулом до побудови А. т.м. було відкриття антиномій у т. зв. наївній теорії множин. Ці суперечності зумовлені необмеженим застосуванням у наївній теорії множин принципу згортання (або абстракції), згідно з яким для кожної властивості існує множина, що складається з усіх предметів, які мають цю властивість, і тільки з них. Існують два основні підходи до побудови А.т.м. Логічною основою одного з них є числення предикатів першого порядку. Другий базується на системі числення предикатів з багатьма рівнями змінних. Побудови А.т.м. мають важливе гносеологічне значення. Нині нагромаджено великий методологічний досвід з аксіоматизації теорій, з методів доведення несуперечливості, повноти і незалежності системи аксіом, із засобів усунення парадоксів, що виникають всередині наукових теорій; вдалося уточнити постановку низки логіко-методологічних проблем, зокрема, проблеми існування абстрактних об'єктів.

ДЕДУКТИВНА ЛОГІКА - сукупність теорій, що описують процес дедукцїі, тобто закономірності виведення достовірних висновків з певних тверджень. Д.л. будується як формальний аналог до таких теорій, де єдиним способом доведення істинності тверджень є виведення цих тверджень з сукупності вихідних тверджень або аксіом за чітко сформульованими правилами виведення, без звернення до інших аргументів. Теорії такого типу називають дедуктивними; до них належать математичні теорії. Проте за зразком дедуктивних теорій можна побудувати теорії і в інших галузях знань (див. аксіоматичний метод). Д.л., що сама будується як дедуктивна теорія, дає методи побудови змістовних дедуктивних теорій та перевірки несуперечливості існуючих теоретичних побудов (див. логіка формальна).

ДЕДУКЦІЯ (лат. deductio, від deduco - відводжу, виводжу) - у традиційній логіці перехід від загального до окремого; одна з форм умовиводу, при якій на основі загального правила логічним шляхом з одних положень, як істинних, з необхідністю виводиться нове істинне положення. Логічною підставою дедуктивного висновку є аксіома: "Все, що стверджується або заперечується відносно якогось класу предметів у цілому, стверджується або заперечується відносно окремих предметів цього класу". Дедуктивні умовиводи бувають категоричними, умовними і розділювальними. Д. має також значення методу дослідження. При цьому методі окреме пізнається на основі знання загальної закономірності О. собливо широкого значення дедуктивний метод набув при побудові наукових теорій. Різновидом дедуктивного методу є аксіоматичний метод. Теорію Д. вперше створив Аристотель. Для філософів XVII - XVIII ст. характерне протиставлення Д. індукції. У сучасній логіці Д. розуміється як формальний засіб, який забезпечує виведення істинних висновків із істинних засновків.

Рассел, Бертран (1872, Треллек, Уельс - 1970) - англ. філософ, логік, суспільний діяч, засновник сучасної філософії логічного аналізу. Автор (разом із Вайтгедом) класичної праці Principia Mathematica, в якій вперше був систематично реалізований аксіоматичний метод побудови логіки та математики. Лауреат Нобелівської премії з літератури (1950). Філософська еволюція Р. являє собою перехід від платонівського реалізму і логоцентризму до г'юмівського позитивізму і аристотелівського типу реалізму. На поч. XX ст. разом із Муром Р. виступив із критикою неогегельянства з позицій реалізму. В подальшому неодноразово змінював свої філософські погляди, залишаючись, однак, послідовним прибічником аналітичного методу. За Р., сутність філософського пізнання полягає не в проясненні філософської термінології, а в систематичному розумінні навколишнього світу. Логічний аналіз може сприяти філософському пізнанню тільки тоді, коли він спирається на науково обґрунтовану онтологію, з якою мусять бути узгоджені мовні засоби аналізу. Звідси виникає проблема побудови "логічно досконалої мови". Згідно з теорією дескрипцій Р., для цього треба переформулювати твердження природної мови таким чином, щоб усунути посилання на сумнівні сутності, уникаючи як суперечливих дескрипцій типу "круглий квадрат", так і фіктивних дескрипцій ("Гамлет", "крилатий кінь" та ін.). Тоді вимога істинності судження буде еквівалентною вимозі відповідності судження дійсності. Таке бачення взаємовідносин між логікою та онтологією базується на припущенні про дискретну "атомарну" структуру світу (доктрина логічного атомізму). Згідно з концепцією цього періоду, атомарні онтологічні факти утворюються з властивостей та відношень індивідів, а пропозиції та пропозиційні функції лише виконують роль мовних виразів. У 1940 р. Р. знову переосмислює свою онтологію. Єдиними базовими елементами світу він вважає прості якості, що мають водночас характер індивідів і універсал ій, доступних для прямого сприйняття ("знання через безпосереднє знайомство"). Як фізичні об'єкти, так і події аналізуються в термінах цих простих якостей. Доктрина "знання через безпосереднє знайомство" посідає центральне місце в епістемології Р. Згідно з цією доктриною, є два типи знань: знання речей і знання істин. Знання речей, у свою чергу, поділяється на два різновиди: безпосереднє і таке, що базується на знанні істин. Суспільно-політичні погляди Р. поєднували лібералізм, антифашизм і антикомунізм. У питанні про стосунки між людиною і державними інституціями Р. виходив із принципу поєднання максимуму свободи із мінімумом сили В. иступав за створення на демократичних засадах всесвітнього уряду, до повноважень якого входило б з'ясування міждержавних конфліктів.

[br]

Осн. тв.: "Критичний розгляд філософії Ляйбніца" (1900); "Principia mathematica", у співавт. У 3 т. (1910 - 1913); "Наше пізнання зовнішнього світу" (1914); "Аналіз свідомості" (1921); "Аналіз матерії" (1927); "Освіта і соціальний лад" (1932); "Історія західної філософії" (1947); "Людське пізнання: його обсяг і межі" (1948); "Автобіографія Бертрана Рассела. 1872 - 1914". У 3 т. (1967).

ФОРМАЛІЗАЦІЯ (від лат. formalis - складений за формою) у математичній логіці - метод подання змістової теорії як числення. Ф. полягає в заміні всіх змістових тверджень відповідними їм послідовностями символів або формулами; у виявленні і перебудові структури теорії, внаслідок чого теорія набуває вигляду ланцюга формул, де кожна наступна логічно випливає з однієї або кількох попередніх (див. аксіоматичний метод, логістичний метод). Ф. використовують у математиці, логіці і в тих науках, рівень розвитку яких дає змогу застосовувати математичний апарат. Ф. як засіб пізнання має велике значення, зокрема, прокладає шлях "кібернетизації" знання та мислення - передачі машинам певної сторони інтелектуальної діяльності людини (див. штучний інтелект). Успіхи формалізації привели до перебільшення її пізнавальної ролі, особливо логічним позитивізмом. Проте, як виявилося, повністю можна формалізувати лише певні фрагменти змістових теорій, а не теорію в цілому.