mathematica

Гедель, Курт (1906, Брюнн, нині Брно - 1978) - австр. логік, математик. Од 1940 р. проживав у США. Серед значних здобутків у царині математичної логіки і теорії множин найвідомішою є знаменита теорема Г. Вона була сформульована у статті "Про формальну невирішуваність тез Principia Mathematica і споріднених систем" (1931), що згодом отримала світове визнання. Суть відкриття Г. зводилася до двох основних результатів. Перший - це теорема про неповноту, в якій стверджується, що будь-яка несуперечлива система, подібна до Principia Mathematica (див. Вайтгед, Рассел), неповна. Г. показав, що в таких системах є істинні твердження, які засобами цих теорій не можна ані довести, ані спростувати. У філософсько-методологічному плані теорема Г. про неповноту виявилася обґрунтуванням принципової неможливості повної формалізації наукового знання, зокрема, математики. Була спростована точка зору, згідно з якою в обґрунтуванні математичного знання логіка може бути гарантованим засобом отримання нових істин. Другий результат - теорема про несуперечливість, суть якої полягала в обґрунтуванні неможливості доведення несуперечливості формальної системи її власними засобами. Г. довів, що це можна зробити, лише застосовуючи методи більш розвинутої формальної теорії. З математичної та філософської точки зору ідеї Г. виявили принципову нездійсненність програми обґрунтування математики Гільберта. Г. також належать вагомі результати в теорії моделей та конструктивній логіці.

[br]

Осн. тв.: "Про формальну невирішуваність тез Principia mathematica і споріднених систем" (1931); "Про інтуїтивну арифметику та теорію чисел" (1932); "Математична логіка Рассела" (1944) та ін.

Рассел, Бертран (1872, Треллек, Уельс - 1970) - англ. філософ, логік, суспільний діяч, засновник сучасної філософії логічного аналізу. Автор (разом із Вайтгедом) класичної праці Principia Mathematica, в якій вперше був систематично реалізований аксіоматичний метод побудови логіки та математики. Лауреат Нобелівської премії з літератури (1950). Філософська еволюція Р. являє собою перехід від платонівського реалізму і логоцентризму до г'юмівського позитивізму і аристотелівського типу реалізму. На поч. XX ст. разом із Муром Р. виступив із критикою неогегельянства з позицій реалізму. В подальшому неодноразово змінював свої філософські погляди, залишаючись, однак, послідовним прибічником аналітичного методу. За Р., сутність філософського пізнання полягає не в проясненні філософської термінології, а в систематичному розумінні навколишнього світу. Логічний аналіз може сприяти філософському пізнанню тільки тоді, коли він спирається на науково обґрунтовану онтологію, з якою мусять бути узгоджені мовні засоби аналізу. Звідси виникає проблема побудови "логічно досконалої мови". Згідно з теорією дескрипцій Р., для цього треба переформулювати твердження природної мови таким чином, щоб усунути посилання на сумнівні сутності, уникаючи як суперечливих дескрипцій типу "круглий квадрат", так і фіктивних дескрипцій ("Гамлет", "крилатий кінь" та ін.). Тоді вимога істинності судження буде еквівалентною вимозі відповідності судження дійсності. Таке бачення взаємовідносин між логікою та онтологією базується на припущенні про дискретну "атомарну" структуру світу (доктрина логічного атомізму). Згідно з концепцією цього періоду, атомарні онтологічні факти утворюються з властивостей та відношень індивідів, а пропозиції та пропозиційні функції лише виконують роль мовних виразів. У 1940 р. Р. знову переосмислює свою онтологію. Єдиними базовими елементами світу він вважає прості якості, що мають водночас характер індивідів і універсал ій, доступних для прямого сприйняття ("знання через безпосереднє знайомство"). Як фізичні об'єкти, так і події аналізуються в термінах цих простих якостей. Доктрина "знання через безпосереднє знайомство" посідає центральне місце в епістемології Р. Згідно з цією доктриною, є два типи знань: знання речей і знання істин. Знання речей, у свою чергу, поділяється на два різновиди: безпосереднє і таке, що базується на знанні істин. Суспільно-політичні погляди Р. поєднували лібералізм, антифашизм і антикомунізм. У питанні про стосунки між людиною і державними інституціями Р. виходив із принципу поєднання максимуму свободи із мінімумом сили В. иступав за створення на демократичних засадах всесвітнього уряду, до повноважень якого входило б з'ясування міждержавних конфліктів.

[br]

Осн. тв.: "Критичний розгляд філософії Ляйбніца" (1900); "Principia mathematica", у співавт. У 3 т. (1910 - 1913); "Наше пізнання зовнішнього світу" (1914); "Аналіз свідомості" (1921); "Аналіз матерії" (1927); "Освіта і соціальний лад" (1932); "Історія західної філософії" (1947); "Людське пізнання: його обсяг і межі" (1948); "Автобіографія Бертрана Рассела. 1872 - 1914". У 3 т. (1967).

Вайтгед, Алфред Норт (1861, Ремсгейт - 1947) - англ. філософ, логік, математик, засновник логіцистичної школи у філософії математики. Навчався у Кембриджі (Триніті Коледж). Член Королівського наукового тов-ва (від 1903 р.), куди був запрошений завдяки розробкам у галузі загальної алгебри. Результатом десятилітньої співпраці В. з його студентом Расселом було фундаментальне дослідження основ математики й математичної логіки. У 1924 - 1947 рр. В. - проф. філософії Гарвардського ун-ту (США), займається переважно філософською метафізикою. Виокремлюють три періоди у творчості В.: перший період присвячений проблемам логіки й математики, другий - проблемам філософи науки, третій - онтологічному обґрунтуванню філософії науки на засадах розробленої ним філософської метафізики. Спираючись на синтез пізнавальних принципів різноманітних наук, В. створив власну організмічну теорію, або "філософію організму". Згідно з нею, суб'єкт і об'єкт нерозривно пов'язані одне з одним і з Всесвітом в органічній єдності. З одного боку, цей органіцизм заперечує "просту локалізацію" окремих наук, яка ґрунтується на переконанні про "незалежну індивідуальність кожного шматка матерії". Найбільш очевидно ця локалізація здійснювалась класичною фізикою з її механіцизмом та застосуванням абстракцій абсолютного простору і часу. З іншого боку, метафізичному атомізмові В. протиставляє концепцію "актуальних сутностей", невіддільну від доктрини внутрішніх відношень З. гідно з останньою, члени відношення і самі відношення в конкретному факті завжди взаємно пов'язані. У "філософії організму" В. певною мірою наявний синтез платонівсько-аристотелівської традиції (універсалізм "вічних об'єктів") та класичного англ. емпіризму ("досвід" і "відчуття" як атрибути суб'єктивності). "Філософія організму" спирається на ряд засадничих принципів. "Онтологічний принцип" виражає нередукованість факту до поняття дійсності - до того, що завжди має характер об'єкта, або мислимого буття. "Принцип процесу" вказує на те, що реальність є становленням. "Принцип відносності" - на те, що будьяка об'єктивність є можливістю для становлення, перетворення можливості у дійсність. "Реформований суб'єктивістський принцип" розкриває природу становлення як суб'єктивної єдності, яка вбирає у себе об'єктивну даність. Цей акт асимілізації об'єктивних даних і "стягування" їх у суб'єктивну єдність "досвіду" позначається спеціальним терміном - "охоплення", синонімом якого часто виступає "відчуття". Останнє може бути двох типів - "фізичне", якщо його об'єктом є стійкий елемент дійсності, або "концептуальне", якщо воно спрямоване на "вічні об'єкти". "Вічні об'єкти", подібно до "категорій існування", згідно з В., є формами визначеності досвіду. Вони поєднують як потенційність просторової протяжності, так і довічну природу Бога. У Всесвіті існує невпинне прагнення до інтенсифікації відчуттів і творчого самоздійснення, і Бог є його найвищим джерелом. Процес суб'єктивного становлення безперервний і нескінченний: кожна актуальна подія є не лише переходом від можливості до дійсності, а й переходом від дійсності до можливості. Тривалість процесу становлення забезпечується спадкоємністю "вічних об'єктів", які переходять від однієї суб'єктивної єдності до іншої та створюють структурну визначеність, необхідну для науки.

[br]

Осн. тв.: "Principia mathematica", у співавт. У 3 т. (1910); "Поняттяприроди" (1920); "Наука і сучасний світ" (1926); "Процес і реальність. Нариси з космології" (1929); "Пригоди ідей" (1933) та ін.

ТЕОРІЯ ТИПІВ - спосіб побудови логічного числення з кількома видами термів (констант і змінних), яким відповідають типи сутностей ієрархізованого логічного універсуму (напр., індивіди, властивості, властивості властивостей і т. ін.). Т.т. була запропонована Расселом і Вайтгедом у книзі "Principia mathematica" (1910 - 1913) як засіб усунення можливості доведення парадоксів у теорії множин. Так, у Т. т. неможливо навіть сформулювати твердження про суперечливу множину, яка містить саму себе у якості елемента, тому що елемент і множина належать до різних типів.