рассмотрим+график

линейное программирование
—
[ http://www.iks-media.ru/glossary/index.html?glossid=2400324]

линейное программирование
Область математического программирования, посвященная теории и методам решения экстремальных задач, характеризующихся линейной зависимостью между переменными. В самом общем виде задачу Л.п. можно записать так. Даны ограничения типа или в так называемой канонической форме, к которой можно привести все три указанных случая Требуется найти неотрицательные числа xj (j = 1, 2, …, n), которые минимизируют (или максимизируют) линейную форму Неотрицательность искомых чисел записывается так: Таким образом, здесь представлена общая задача математического программирования с теми оговорками, что как ограничения, так и целевая функция — линейные, а искомые переменные — неотрицательны. Обозначения можно трактовать следующим образом: bi — количество ресурса вида i; m — количество видов этих ресурсов; aij — норма расхода ресурса вида i на единицу продукции вида j; xj — количество продукции вида j, причем таких видов — n; cj — доход (или другой выигрыш) от единицы этой продукции, а в случае задачи на минимум — затраты на единицу продукции; нумерация ресурсов разделена на три части: от 1 до m1, от m1 + 1 до m2 и от m2 + 1 до m в зависимости от того, какие ставятся ограничения на расходование этих ресурсов; в первом случае — «не больше», во втором — «столько же», в третьем — «не меньше»; Z — в случае максимизации, например, объем продукции или дохода, в случае же минимизации — себестоимость, расход сырья и т.п. Добавим еще одно обозначение, оно появится несколько ниже; vi — оптимальная оценка i-го ресурса. Слово «программирование» объясняется здесь тем, что неизвестные переменные, которые отыскиваются в процессе решения задачи, обычно в совокупности определяют программу (план) работы некоторого экономического объекта. Слово, «линейное» отражает факт линейной зависимости между переменными. При этом, как указано, задача обязательно имеет экстремальный характер, т.е. состоит в отыскании экстремума (максимума или минимума) целевой функции. Следует с самого начала предупредить: предпосылка линейности, когда в реальной экономике подавляющее большинство зависимостей носит более сложный нелинейный характер, есть огрубление, упрощение действительности. В некоторых случаях оно достаточно реалистично, в других же выводы, получаемые с помощью решения задач Л.п. оказываются весьма несовершенными. Рассмотрим две задачи Л.п. — на максимум и на минимум — на упрощенных примерах. Предположим, требуется разработать план производства двух видов продукции (объем первого — x1; второго — x2) с наиболее выгодным использованием трех видов ресурсов (наилучшим в смысле максимума общей прибыли от реализации плана). Условия задачи можно записать в виде таблицы (матрицы). Исходя из норм, зафиксированных в таблице, запишем неравенства (ограничения): a11x1 + a12x2 ? bi a21x1 + a22x2 ? b2 a31x1 + a32x2 ? b3 Это означает, что общий расход каждого из трех видов ресурсов не может быть больше его наличия. Поскольку выпуск продукции не может быть отрицательным, добавим еще два ограничения: x1? 0, x2? 0. Требуется найти такие значения x1 и x2, при которых общая сумма прибыли, т.е. величина c1 x1 + c2 x2 будет наибольшей, или короче: Удобно показать условия задачи на графике (рис. Л.2). Рис. Л.2 Линейное программирование, I (штриховкой окантована область допустимых решений) Любая точка здесь, обозначаемая координатами x1 и x2, составляет вариант искомого плана. Очевидно, что, например, все точки, находящиеся в области, ограниченной осями координат и прямой AA, удовлетворяют тому условию, что не может быть израсходовано первого ресурса больше, чем его у нас имеется в наличии (в случае, если точка находится на самой прямой, ресурс используется полностью). Если то же рассуждение отнести к остальным ограничениям, то станет ясно, что всем условиям задачи удовлетворяет любая точка, находящаяся в пределах области, края которой заштрихованы, — она называется областью допустимых решений (или областью допустимых значений, допустимым множеством). Остается найти ту из них, которая даст наибольшую прибыль, т.е. максимум целевой функции. Выбрав произвольно прямую c1x1 + c2x2 = П и обозначив ее MM, находим на чертеже все точки (варианты планов), где прибыль одинакова при любом сочетании x1 и x2 (см. Линия уровня). Перемещая эту линию параллельно ее исходному положению, найдем точку, которая в наибольшей мере удалена от начала координат, однако не вышла за пределы области допустимых значений. (Перемещая линию уровня еще дальше, уже выходим из нее и, следовательно, нарушаем ограничения задачи). Точка M0 и будет искомым оптимальным планом. Она находится в одной из вершин многоугольника. Может быть и такой случай, когда линия уровня совпадает с одной из прямых, ограничивающих область допустимых значений, тогда оптимальным будет любой план, находящийся на соответствующем отрезке. Координаты точки M0 (т.е. оптимальный план) можно найти, решая совместно уравнения тех прямых, на пересечении которых она находится. Противоположна изложенной другая задача Л.п.: поиск минимума функции при заданных ограничениях. Такая задача возникает, например, когда требуется найти наиболее дешевую смесь некоторых продуктов, содержащих необходимые компоненты (см. Задача о диете). При этом известно содержание каждого компонента в единице исходного продукта — aij, ее себестоимость — cj ; задается потребность в искомых компонентах — bi. Эти данные можно записать в таблице (матрице), сходной с той, которая приведена выше, а затем построить уравнения как ограничений, так и целевой функции. Предыдущая задача решалась графически. Рассуждая аналогично, можно построить график (рис. Л.3), каждая точка которого — вариант искомого плана: сочетания разных количеств продуктов x1 и x2. Рис.Л.3 Линейное программирование, II Область допустимых решений здесь ничем сверху не ограничена: нужное количество заданных компонентов тем легче получить, чем больше исходных продуктов. Но требуется найти наиболее выгодное их сочетание. Пунктирные линии, как и в предыдущем примере, — линии уровня. Здесь они соединяют планы, при которых себестоимость смесей исходных продуктов одинакова. Линия, соответствующая наименьшему ее значению при заданных требованиях, — линия MM. Искомый оптимальный план — в точке M0. Приведенные крайне упрощенные примеры демонстрируют основные особенности задачи Л.п. Реальные задачи, насчитывающие много переменных, нельзя изобразить на плоскости — для их геометрической интерпретации используются абстрактные многомерные пространства. При этом допустимое решение задачи — точка в n-мерном пространстве, множество всех допустимых решений — выпуклое множество в этом пространстве (выпуклый многогранник). Задачи Л.п., в которых нормативы (или коэффициенты), объемы ресурсов («константы ограничений«) или коэффициенты целевой функции содержат случайные элементы, называются задачами линейного стохастического программирования; когда же одна или несколько независимых переменных могут принимать только целочисленные значения, то перед нами задача линейного целочисленного программирования. В экономике широко применяются линейно-программные методы решения задач размещения производства (см. Транспортная задача), расчета рационов для скота (см. Задача диеты), наилучшего использования материалов (см. Задача о раскрое), распределения ресурсов по работам, которые надо выполнять (см. Распределительная задача) и т.д. Разработан целый ряд вычислительных приемов, позволяющих решать на ЭВМ задачи линейного программирования, насчитывающие сотни и тысячи переменных, неравенств и уравнений. Среди них наибольшее распространение приобрели методы последовательного улучшения допустимого решения (см. Симплексный метод, Базисное решение), а также декомпозиционные методы решения крупноразмерных задач, методы динамического программирования и др. Сама разработка и исследование таких методов — развитая область вычислительной математики. Один из видов решения имеет особое значение для экономической интерпретации задачи Л.п. Он связан с тем, что каждой прямой задаче Л.п. соответствует другая, симметричная ей двойственная задача (подробнее см. также Двойственность в линейном программировании). Если в качестве прямой принять задачу максимизации выпуска продукции (или объема реализации, прибыли и т.д.), то двойственная задача заключается, наоборот, в нахождении таких оценок ресурсов, которые минимизируют затраты. В случае оптимального решения ее целевая функция — сумма произведений оценки (цены) vi каждого ресурса на его количество bi— то есть равна целевой функции прямой задачи. Эта цена называется объективно обусловленной, или оптимальной оценкой, или разрешающим множителем. Основополагающий принцип Л.п. состоит в том, что в оптимальном плане и при оптимальных оценках всех ресурсов затраты и результаты равны. Оценки двойственной задачи обладают замечательными свойствами: они показывают, насколько возрастет (или уменьшится) целевая функция прямой задачи при увеличении (или уменьшении) запаса соответствующего вида ресурсов на единицу. В частности, чем больше в нашем распоряжении данного ресурса по сравнению с потребностью в нем, тем ниже будет оценка, и наоборот. Не решая прямую задачу, по оценкам ресурсов, полученных в двойственной задаче, можно найти оптимальный план: в него войдут все технологические способы, которые оправдывают затраты, исчисленные в этих оценках (см. Объективно обусловленные (оптимальные) оценки). Первооткрыватель Л.п. — советский ученый, академик, лауреат Ленинской, Государственной и Нобелевской премий Л.В.Канторович. В 1939 г. он решил математически несколько задач: о наилучшей загрузке машин, о раскрое материалов с наименьшими расходами, о распределении грузов по нескольким видам транспорта и др., при этом разработав универсальный метод решения этих задач, а также различные алгоритмы, реализующие его. Л.В.Канторович впервые точно сформулировал такие важные и теперь широко принятые экономико-математические понятия, как оптимальность плана, оптимальное распределение ресурсов, объективно обусловленные (оптимальные) оценки, указав многочисленные области экономики, где могут быть применены экономико-математические методы принятия оптимальных решений. Позднее, в 40—50-х годах, многое сделали в этой области американские ученые — экономист Т.Купманс и математик Дж. Данциг. Последнему принадлежит термин «линейное программирование». См. также: Ассортиментные задачи, Базисное решение, Блочное программирование, Булево линейное программирование, Ведущий столбец, Ведущая строка, Вершина допустимого многогранника, Вырожденная задача, Гомори способ, Граничная точка, Двойственная задача, Двойственность в линейном программировании, Дифференциальные ренты, Дополняющая нежесткость, Жесткость и нежесткость ограничений ЛП, Задача диеты, Задача о назначениях, Задача о раскрое, Задачи размещения, Исходные уравнения, Куна — Таккера условия, Множители Лагранжа, Область допустимых решений, Опорная прямая, Распределительные задачи, Седловая точка, Симплексная таблица, Симплексный метод, Транспортная задача.
[ http://slovar-lopatnikov.ru/]

Тематики

• экономика
• электросвязь, основные понятия

EN

• linear programming

направленная токовая защита нулевой последовательности
—
[В.А.Семенов. Англо-русский словарь по релейной защите]

Нулевая последовательность фаз.
Согласно теории симметричных составляющих любую несимметричную систему трех токов или напряжений - обозначим их А, В, С - можно представить в виде трех систем прямой, обратной и нулевой последовательностей фаз (рис. 7.9, а-в). Первые две системы симметричны и уравновешены, последняя симметрична, но не уравновешена.
Система прямой последовательности (рис. 7.9, а) состоит из трех вращающихся векторов A 1, B 1, C 1, равных по значению и повернутых на 120° относительно друг друга, причем вектор B1 следует за вектором А 1.

Рис. 7.8. Принципиальная схема максимальной токовой защиты с пуском от реле минимального напряжения:
КА - реле тока (токовый пусковой орган); КV - реле минимального напряжения (пусковой орган по напряжению); КТ - реле времени
Система обратной последовательности (рис. 7.9, б) состоит также из трех векторов A 2, B 2, C 2, равных по значению и повернутых на 120° относительно друг друга, но при вращении в ту же сторону, что и векторы прямой последовательности, вектор B 2 опережает вектор A 2 на 120°.
Система нулевой последовательности (рис. 7.9, в) состоит из трех векторов A 0, B 0, C 0, совпадающих по фазе.
Очевидно, что сложение одноименных векторов этих трех систем дает ту несимметричную систему, которая была разложена на, ее составляющие:

В качестве примера сложение векторов фазы С выполнено на рис. 7.9, г.
Существует и метод расчета симметричных составляющих, согласно которому составляющая нулевой последовательности

Рис. 7.9. Симметричные составляющие:
а, б, в - прямой, обратной и нулевой последовательности соответственно; г - сложение векторов трех последовательностей фазы С

Рис. 7.10. Однофазное КЗ на землю на ненагруженной линии с односторонним питанием:
а - схема линии; б - векторная диаграмма напряжения и тока для точки К ; в, г - векторные диаграммы напряжения и токов, построенные с помощью симметричных составляющих

Таким образом, для нахождения A 0 надо геометрически сложить три составляющие вектора и взять одну треть от суммы.
Целесообразность представления несимметричных систем тремя симметричными составляющими состоит в том, что анализ и расчеты напряжений и токов для системы нулевой последовательности могут выполняться независимо от систем прямой и обратной последовательностей, что во многих случаях упрощает расчеты.
Включение же защит на составляющие нулевой последовательности дает ряд преимуществ по сравнению с включением их на полные токи и напряжения фаз для действия при КЗ на землю.
Практическое использование составляющих нулевой последовательности. Рассмотрим металлическое замыкание фазы А на землю в сети с эффективно заземленной нейтралью (рис. 7.10, а). Этот вид повреждения относится к несимметричным КЗ и характеризуется тем, что в замкнутом контуре действует ЭДС E A, под действием которой в поврежденной фазе А проходит ток IA=Ik отстающий от E A на 90°; напряжение фазы А относительно земли в месте повреждения (точка К) UAк =0, так как эта точка непосредственно соединена с землей; токи в неповрежденных фазах IB и IC отсутствуют. С учетом сказанного на рис. 7.10, б построена векторная диаграмма для точки К.
На рис. 7.10, в и г приведены векторные диаграммы напряжений и токов, построенные с помощью симметричных составляющих для того же случая однофазного КЗ.
Сравнение диаграммы, представленной на рис. 7.10, б, с диаграммами рис. 7.10, в и г показывает, что вектор I к равен вектору 3I0, а –ЕА =U B к + U C к = 3U0к. Значит, полный ток фазы в месте повреждения может быть представлен утроенным значением тока нулевой последовательности, а ЭДС - ЕА - утроенным значением напряжения нулевой последовательности.
Практически ток нулевой последовательности получают соединением вторичных обмоток трансформаторов тока в фильтр токов нулевой последовательности (рис. 7.11). Из схемы видно, что ток в реле КА равен геометрической сумме токов трех фаз:

Ток в реле появляется только при однофазном или двухфазном КЗ на землю. Короткие замыкания между фазами являются симметричными системами, и соответственно этому ток в реле Iр=0.
Для получения напряжения нулевой последовательности вторичные обмотки трансформатора напряжения соединяют в разомкнутый треугольник (рис. 7.12) и обязательно заземляют нейтраль его первичной обмотки. В этом случае


Рис. 7.11. Соединение трансформаторов тока в фильтр токов нулевой последовательности
В нормальном режиме работы и КЗ между фазами (без земли) геометрическая сумма напряжений вторичных обмоток, соединенных в разомкнутый треугольник, равна нулю, и поэтому Up также равно нулю (рис. 7.12, б). И только при однофазных (или двухфазных) КЗ на землю на зажимах разомкнутого треугольника появляется напряжение Up=3U0 (рис. 7.12, в).
Фазные напряжения систем прямой и обратной последовательностей образуют симметричные звезды, и поэтому суммы их векторов в схеме разомкнутого треугольника всегда равны нулю.

Рис. 7.12. Соединение однофазных трансформаторов напряжении в фильтр напряжения нулевой последовательности:
а - общая схема трансформатора напряжения; б - векторные диаграммы в нормальном режиме работы; с - то же при замыкании фазы А на землю в сети с заземленной нейтралью; PV - вольтметр контроля исправности цепей вторичной обмотки

В сетях с эффективным заземлением нейтрали около 80% повреждений связано с замыканиями на землю. Для защиты оборудования применяют устройства, реагирующие на составляющие нулевой последовательности.
Схема и некоторые вопросы эксплуатации токовой направленной защиты нулевой последовательности. Принципиальная схема защиты показана на рис. 7.13. Пусковое токовое реле КА, включенное на фильтр токов нулевой последовательности, реагирует на появление КЗ на землю, когда в нулевом проводе проходит ток 3I0.
Реле мощности KW фиксирует направление мощности КЗ, обеспечивая селективность действия: защита работает при направлении мощности КЗ от шин подстанции в защищаемую линию. Напряжение 3U0 подводится к реле мощности от обмотки разомкнутого треугольника трансформатора напряжения (шинки EV, H, KV, K).
Реле времени КТ создает выдержку времени, необходимую по условию селективности.
На рис. 7.14 показано размещение токовых направленных защит нулевой последовательности в сети, работающей с заземленными нейтралями с обеих сторон рассматриваемого участка. График характеристик выдержек времени построен по встречно-ступенчатому принципу. Из графика видно, что каждая защита отстраивается от защиты смежного участка ступенью времени Δt =t1-t3.
Значение тока срабатывания пускового токового реле выбирается по условию надежного действия реле при КЗ в конце следующего (второго) участка сети, а также по условию отстройки от тока небаланса.
Появление тока небаланса в реле связано с погрешностью трансформаторов тока, неидентичностью трансформаторов тока, неидентичностью их характеристик намагничивания и имеет решающее значение. Чтобы не допустить действия пускового токового реле от тока небаланса, ток срабатывания реле принимают больше тока небаланса. Ток небаланса определяется для нормального рабочего режима или для режима трехфазного КЗ в зависимости от выдержки времени защиты.
При наличии в защищаемой сети автотрансформаторов, электрически связывающих сети двух напряжений, однофазное или двухфазное замыкание на землю к сети среднего напряжения приводит к появлению тока I0 в линиях высшего напряжения. Чтобы избежать ложных срабатываний защит линий высшего напряжения, уставки их защит по току срабатывания и выдержкам времени согласуют с уставками защит в сети среднего напряжения. По указанной причине избегают, как правило, заземления нейтралей обмоток звезд высшего и среднего напряжений у одного трансформатора. Заметим также, что у трансформатора со схемой соединения звезда-треугольник замыкание на землю на стороне треугольника не вызывает появления тока I0 на стороне звезды.
Ток I0 появляется в линиях при неполнофазных режимах работы участков сетей. Такие режимы могут быть кратковременными и длительными. От кратковременных неполнофазных режимов, возникающих, например, в цикле ОАПВ линии, а также АПВ при неодновременном включении трех фаз выключателя защиты отстраиваются по току срабатывания или выдержки времени защит принимаются больше, чем время t ОАПВ. При возможных неполнофазных режимах работы линий (например, при пофазном ремонте под напряжением) токовые направленные защиты нулевой последовательности ремонтируемой линии и смежных участков должны проверяться и отстраиваться от несимметрии или выводиться из работы, так как они мало приспособлены для работы в таких условиях.
В процессе эксплуатации токовых защит нулевой последовательности должны строго учитываться все заземленные нейтрали автотрансформаторов и трансформаторов, являющиеся как бы источниками токов нулевой последовательности. Распределение тока I0 в сети определяется исключительно расположением заземленных нейтралей, а не генераторов электростанций.
Контроль исправности цепей напряжения разомкнутого треугольника осуществляется с помощью вольтметра, периодически подключаемого с помощью кнопки SB (см. рис. 7.12). Вольтметр измеряет напряжение небаланса, имеющего значение 1-3 В. При нарушении цепей показание вольтметра пропадает.
Наряду с рассмотренной токовой направленной защитой нулевой последовательности широкое распространение в сетях 110 кВ и выше получили направленные отсечки и ступенчатые защиты пулевой последовательности. Наиболее совершенными являются четырехступенчатые защиты, первая ступень которых обычно выполняется без выдержки времени. Первая и вторая ступени защиты предназначены для действий при замыканиях на землю в пределах защищаемой линии и на шинах противоположной подстанции. Последние ступени выполняют в основном роль резервирования.

Рис. 7.13. Схема токовой направленной защиты нулевой последовательности
[ http://leg.co.ua/knigi/raznoe/obsluzhivanie-ustroystv-releynoy-zaschity-i-avtomatiki-3.html]

Тематики

• релейная защита

EN

• directional neutral current relay